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反正(zhèng)弦函数(shù)的导(dǎo)数(shù)，反正切函数的导数推(tuī)导过程

　　正切函数(shù)y=tanx在(zài)开区间（x∈(-π/2,π/2)）的反函(hán)数，记(jì)作y=arctanx或y=tan-1x，叫做反(fǎn)正切函数。

　　它表示(-π/2,π/2)上(shàng)正切值等于x的(de)那个唯一确定的角，即tan(arctanx)=x，反正切函数的定义域为R即(-∞，+∞)。

　　反正切函数是(shì)反三(sān)角函数(shù)的(de)一种。

　　由(yóu)于正(zhèng)切函数y=tanx在(zài)定义域(yù)R上(shàng)不具有一一对应(yīng)的关系，所以不存在反(fǎn)函数。

　　注意这(zhè)里选取是正切函数的一个单调区(qū)间。

　　而由于正切(qiè)函数在开区间(-π/2,π/2)中是单(dān)调连续的(de)，因此(cǐ)，反正切函数是存在且(qiě)唯一确定(dìng)的。

　　引进多(duō)值函数概念(niàn)后，就(jiù)可(kě)以在正(zhèng)切函数(shù)的整个(gè)定(dìng)义(yì)域(x∈R，且(qiě)x≠kπ+π/2，k∈Z)上来考(kǎo)虑它的反函数(shù)，这时的(de)反正切函数是(shì)多值的，记为y=Arctanx，定义域是(shì)(-∞，+∞)，值(zhí)域是y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。

　　于是(shì)，把y=arctanx(x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))称为反正切(qiè)函数的主(zhǔ)值，而把y=Arctanx=kπ+arctanx(x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为(wèi)反正切函数的通(tōng)值。

　　反(fǎn)正切(qiè)函数(shù)在(-∞，+∞)上(shàng)的图像(xiàng)可由区间(jiān)(-π/2,π/2)上的(de)正切曲线作关于直线y=x的对称(chēng)变换而得到，如图所示。

　　反正切函数的大(dà)致(zhì)图像(xiàng)如图所(suǒ)示，显然与函数y=tanx,（x∈R）关于(yú)直线y=x对称，且渐近(jìn)线为y=π/2和(hé)y=-π/2。

求反(fǎn)正切函数求(qiú)导公式(shì)的推导过程、

　　因为(wèi)函(hán)数(shù)的导数等于反(fǎn)函数导数的倒数。

　　arctanx 的反函数(shù)是tany=x,所以tany=(siny/cosy)纳敬=[(siny)cosy-siny(cosy)]/(cosy)^2=(cos^2y+sin^2y)/cos^2y=1/cos^2y .............tany=siny/cosy=根号下(1-cos^2y)/cosy,,,,,,,,,,两边(biān)平方得(dé)tan^2y=(1-cos^2y)/cos^2y......因(yīn)为上面tany=x.........所以cos^2=1/(x^2+1)........所以(yǐ)由上面塌悄(tany)=1/cos^2y的得(tany)=x^2+1然后再用(yòng)团茄渣倒数得(dé)(arctany)=1/(1+x^2))

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